Lernauftrag 19: Unbelasteter Spannungsteiler
Hier findest du die Aufgaben ohne Lösungen.
Aufgabe 1
Lies im Fachbuch die Seite 55/56 und arbeite heraus, was ein unbelasteter Spannungsteiler ist.
Grundlegend besteht ein Spannungsteiler aus zwei in Reihe geschalteten Widerständen \(R_1\) und \(R_2\). Über beide Widerstände zusammen fällt die Spannung \(U\) ab. Diese wird zuweilen auch als Eingangsspannungs \(U_E\) bezeichnet. Über den Widerstand \(R_2\) fällt die Teilspannung \(U_2\) ab, welche zuweilen auch Leerlaufspannung (im Fall des unbelasteten Spannungsteilers) genannt wird.
Dem unbelasteten Spannungsteiler wird kein Strom entnommen. Der Fall nennt sich auch Leerlauf. Die Spannung \(U\) wird in die Teilspannungen \(U_1\) und \(U_2\) im Verhältnis der beteiligten Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) aufgeteilt.
Die Leerlaufspannung \(U_2=U_L=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U\)
Aufgabe 2
Ein unbelasteter Spannungsteiler bestehe aus den Widerständen \(R_1=100\ \Omega\) und \(R_2=50\ \Omega\). Am Spannungsteiler liegt eine Gesamtspannung von \(60\ V\) an. Berechne die Teilspannungen an den Widerständen \(R_1\) und \(R_2\).
geg: \(R_1=100\ \Omega\), \(R_2=50\ \Omega\), \(U=60\ V\)
ges: \(U_1, U_2\)
Lös: Wir gehen hier zwei Wege, welche zum selben Ziel führen:
1) Nutzen der Formel aus Aufgabe 1
\(U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot U=\frac{100\ \Omega}{100\ \Omega+50\ \Omega}\cdot 60\ V=\frac{2}{3}\cdot60\ V=40 \ V\)
\(U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U=\frac{50\ \Omega}{100\ \Omega+50\ \Omega}\cdot 60\ V=\frac{1}{3}\cdot 60\ V=20\ V\)
Probe: \(U_1+U_2=20\ V+40\ V=60\ V=U\) ✅
2) Nutzen von Wissen über Reihenschaltung von Widerständen und ohmsches Gesetz
Wir fassen die Widerstände zu einem \(R_\mathrm{ges}\) zusammen:
\(R_\mathrm{ges}=R_1+R_2=100\ Omega+50\ \Omega=150\ \Omega\)
Mit dem Wissen über den Gesamtwiderstand und die Spannung können wir den Strom, welcher durch den Schaltkreis fließt mithilfe des ohmschen Gesetzes berechen:
\(U=R\cdot I \Leftrightarrow I=\frac{U}{R}=\frac{60\ V}{150\ \Omega}=0,4\ A\)
Da die Widerstände in Reihe liegen fließt dieser Strom \(I\) durch beide Widerstände, es gilt also \(I=I_1=I_2\) und wir können das ohmsche Gesetz nutzen, um die Spannung über dem jeweiligen Widerstand zu berechnen:
\(U_1=R_1\cdot I_1=R_1\cdot I=100\ \Omega\cdot0,4\ A=40\ V\)
\(U_2=R_2\cdot I_2=R_2\cdot I=50\ \Omega\cdot 0,4\ A=20\ V\)
Probe: \(U_1+U_2=20\ V+40\ V=60\ V=U\) ✅
Antw: Die Teilspannungen sind \(U_1=40\ V\) und \(U_2=20\ V\).
Aufgabe 3
Ein unbelasteter Spannungsteiler habe die Widerstände \(R_1=680\ \Omega\) und \(R_2=82\ \Omega\). Berechne wieviel Prozent der Gesamtspannung \(U\) über dem Widerstand \(R_2\) abfällt.
geg: \(R_1=680\ \Omega\), \(R_2=82\ \Omega\)
ges: Prozentualer Anteil von \(U_2\) an \(U\)
Lös: Betrachten wir die Formel
\(U_2=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U\) so können wir erkennen, daß \(\frac{R_2}{R_1+R_2}\) genau den prozentualen Anteil von der Gesamtspannung \(U\) angibt. Also
\(\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{82\ \Omega}{680\ \Omega+82\ \Omega}=0,1076=10,76\%\)
Antw: Es fallen \(10,76\%\) der Gesamtspannung über dem Widerstand \(R_2\) ab.
Aufgabe 4
Fachbuch Seite 55, Bild 3 zeigt einen variablen Spannungsteiler. Nennen wir den Widerstand mit Potentiometer \(R_2\), welcher maximal den Wert \(R_2=4,7\ k\Omega\) annehmen kann. Fügen wir in Reihe zu \(R_2\) vorher einen Widerstand \(R_1=1\ k\Omega\) und dahinter einen Widerstand $R_3=2,2\ k\Omega hinzu.
Zeichne das Ersatzschaltbild mit allen drei Widerständen. Die Gesamtspannung nennen wir \(U_E\) (Eingangsspannung) und die Spannung, welche über \(R_2\) und \(R_3\) abfällt nennen wir \(U_A\) (Ausgangsspannung).
Berechne in welchem Bereich sich die Ausgangsspannung verändern läßt, wenn die Eingangsspannung \(U_E=10\ V\) beträgt.
Wir vereinfachen die Betrachtung auf zwei Fälle:
1) Der Gesamtwiderstand des Potentiometers gehört zum Vorwiderstand \(R_1\)
2) Das Gesamtwiderstand des Potentiometers gehört zum Teilungswiderstand \(R_3\)
Die Fälle entsprechen jeweils den beiden Endpunkten des Potentiometers.
\(R_2\) gehört zu \(R_1\)
Die Ausgangsspannung fällt als Leerlaufspannung ausschließlich über den Widerstand \(R_3\) ab und kann berechnet werden zu
\(U_A=U_3=\frac{R_3}{R_1+R_2+R_3}\cdot U_E=\frac{2,2\ k\Omega}{1\ k\Omega+4,7\ k\Omega2,2\ k\\Omega}\cdot 10\ V=2,78\ V\)
Beachte, dass wir im Nenner die Reihenschaltung aller drei Widerstände zu stehen haben.=
\(R_2\) gehört zu \(R_3\)
Die Ausgangsspannung fällt als Leerlaufspannung über den Gesamtwiderstand aus \(R_2\) und \(R_3\) ab und kann berechnet werden zu
\(U_A=\frac{R_2+R_3}{R_1+R_2+R_3}\cdot U_E=\frac{4,7\ k\Omega+2,2\ k\Omega}{1\ k\Omega+4,7\ k\Omega+2,2\ k\Omega}=8,73\ V\)
Antw: Die Ausgangsspannung läßt sich im Bereich von \(2,78\ V\) bis \(8,73\ V\) verändern.
Aufgabe 5
Eine Spannungsteilerschaltung soll bei einer Eingangsspannung von \(U_E=60\ V\) so ausgelegt werden, dass im unbelasteten Zustand die Ausgangsspannung \(U_A=10\ V\) ist und im Kurzschlussfall der Strom \(I_K=1\ A\) fließt.
Berechne, welche Werte für die Teilwiderstnde \(R_1\) und \(R_2\) erforderlich sind.
geg: \(U_E=60 \ V\), \(I_K=1\ A\), \(U_A=10\ V\)
ges: \(R_1\), \(R_2\)
Lös:
Überlegen wir uns zuerst welchen Gesamtwiderstand wir brauchen, damit bei \(U_E=60\ V\) der Kurzschlussstrom \(I_K=1\ A\) fließt:
\(U=R\cdot I\Leftrightarrow R=\frac{U}{I}=\frac{U_E}{I_K}=\frac{60\ V}{1\ A}=60\ \Omega\)
Wir haben also insgesamt \(R_\mathrm{ges}=60\ \Omega\) zwischen den Teilwiderständen \(R_1\) und \(R_2\) aufzuteilen. Da wir die Ausgangsspannung \(U_A=10\ V\) kennen können wir
\(U_A=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U_E\)
als Ausgangsformel nutzen, \(R_\mathrm{ges}=R_1+R_2\) ersetzen und auf \(R_2\) umstellen, also
\(U_A=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot U_E\)
\(\Leftrightarrow U_A=\frac{R_2}{R_\mathrm{ges}}\cdot U_E\)
\(\Leftrightarrow \frac{U_A}{U_E}=\frac{R_2}{R_\mathrm{ges}}\)
\(\Leftrightarrow R_2=\frac{U_A}{U_E}\cdot R_\mathrm{ges}=\frac{10\ V}{60\ V}\cdot 60\ \Omega=\frac{1}{6}\cdot 60\ \Omega= 10\ \Omega\)
Nachdem nun \(R_2=10\ \Omega\) bekannt ist, ergibt sich \(R_1=R_\mathrm{ges}-R_2=60\ \Omega-10\ \Omega=50\ \Omega\).
Antw: Die Teilwiderstände müssen die Werte \(R_1=50\ \Omega\) und \(R_2=10\ \Omega\) aufweisen.